Nā hiʻohiʻona maʻalahi me ka hana paʻakikī ʻo ia hoʻi ka haunaele

ʻO ka lolouila kahi mea hana e hoʻohana nui ʻia e ka poʻe ʻepekema e wehe i nā mea huna huna ʻia e ke ʻano. ʻO ka hoʻohālike, me ka hoʻokolohua a me ke kumumanaʻo, ke lilo nei i ke kolu o ke ala e aʻo ai i ka honua.

ʻEkolu makahiki i hala, ma ke Kulanui o Silesia, ua hoʻomaka mākou i kahi papahana e hoʻohui i nā ʻano kamepiula i ka hoʻonaʻauao. ʻO ka hopena, ua hana ʻia ka nui o nā mea didactic hoihoi loa, e maʻalahi a hohonu hoʻi ke aʻo ʻana i nā kumuhana he nui. Ua koho ʻia ʻo Python ma ke ʻano he mea hana nui, me ka mana o nā hale waihona puke ʻepekema i loaʻa, ʻo ia paha ka hopena maikaʻi loa no nā "hoʻokolohua kamepiula" me nā hoohalike, nā kiʻi a i ʻole ka ʻikepili. ʻO kekahi o nā hoʻokō hoihoi loa o kahi papa hana piha ʻo Sage [2]. He hoʻohui wehe ia o kahi ʻōnaehana algebra kamepiula me ka ʻōlelo Python, a hiki iā ʻoe ke hoʻomaka koke i ka pāʻani me ka hoʻohana ʻana i kahi polokalamu kele pūnaewele a me kekahi o nā koho hiki ke komo ma o kahi lawelawe kapuaʻi [3] a i ʻole kahi kikowaena computing hoʻokahi kahi o ka interactive. hoʻokumu ʻia ka mana o kēia ʻatikala ma [4] .

Chaos ma ke kaiaola

I nā makahiki 1 ma ke Kulanui o Oxford, ua aʻo ka ʻepekema Australia ʻo Robert May i nā ʻano manaʻo o ka demographic dynamics. Ua hōʻuluʻulu ʻo ia i kāna hana ma kahi pepa i hōʻike ʻia ma ka puke pai Nature ma lalo o ka inoa hoʻonāukiuki "Simple Mathematics Models with Very Complex Dynamics" [XNUMX]. I loko o nā makahiki, ua lilo kēia ʻatikala i hoʻokahi o nā hana i ʻōlelo ʻia ma ka ecology theoretical. He aha ka mea i makemake nui ai i kēia hana?

ʻO ka pilikia maʻamau o ka dynamics heluna kanaka ka helu ʻana i ka heluna kanaka e hiki mai ana o kekahi ʻano, hāʻawi ʻia i kona kūlana i kēia manawa. ʻO ka makemakika, ua manaʻo ʻia ʻo ka kaiaola ka mea maʻalahi loa e ola ai ke ola o hoʻokahi hanauna o ka heluna kanaka i hoʻokahi kau. ʻO kahi laʻana maikaʻi ka heluna kanaka o nā inike e hele ana i ka metamorphosis holoʻokoʻa i hoʻokahi kau, e like me nā pepeke. Hoʻokaʻawale maoli ʻia ka manawa i nā manawa ʻokoʻa2 e pili ana i nā pōʻai ola o ka heluna kanaka. No laila, ʻo nā haʻilike e wehewehe ana i kēlā ʻano kaiaola kaiaola maoli ka mea i kapa ʻia manawa discrete, i.e. t = 1,2,3…. Ua hana ʻo Robert May i kēlā mau dynamics, i waena o nā mea ʻē aʻe. Ma kona manao, ua ma'alahi 'o ia i ka kaiaola i ho'okahi mea nona ka heluna kanaka he hana quadratic o ka heluna kanaka o ka makahiki i hala. No hea mai kēia kumu hoʻohālike?

ʻO ka hoʻohālikelike ʻokoʻa maʻalahi e wehewehe ana i ka ulu ʻana o ka heluna kanaka he kumu hoʻohālike laina:

ʻo Ni ka nui o ke kau i-i, a ʻo Ni + 1 ka heluna kanaka i ke kau e hiki mai ana. He mea maʻalahi ke ʻike e hiki ke alakaʻi i kēlā ʻano hoʻohālikelike i ʻekolu mau hiʻohiʻona. Ke a = 1, ʻaʻole e hoʻololi ka evolution i ka nui o ka heluna kanaka, a <1 ke alakaʻi i ka luku ʻia, a ʻo ka hihia a > 1 ʻo ia ka ulu ʻana o ka heluna kanaka palena ʻole. E alakaʻi kēia i kahi kaulike ʻole o ke ʻano. No ka mea, ua kaupalena nā mea a pau i ke ʻano, he mea kūpono ke hoʻololi i kēia hoohalike no ka helu ʻana i ka nui o nā kumuwaiwai. E noʻonoʻo i ka ʻai ʻana o nā pests i ka palaoa, i kēlā me kēia makahiki ke ʻano like. Ina he kakaikahi na pepeke e hoohalikeia me ka nui o na mea ai hiki ia lakou ke hanau hou, hiki ia lakou ke hanau me ka mana hanau piha, me ka makemakika i hooholoia e ka mau a > 1. Eia naʻe, i ka piʻi ʻana o ka nui o nā mea ʻino, e liʻiliʻi ka ʻai a e emi ana ka mana hānau. Ma kahi hihia koʻikoʻi, hiki i kekahi ke noʻonoʻo i ka nui o nā iniseti i hānau ʻia a ʻai lākou i ka palaoa āpau ma mua o ka manawa e hana hou ai, a make ka heluna kanaka. ʻO kahi hiʻohiʻona e noʻonoʻo ana i kēia hopena o ka loaʻa ʻana o ka meaʻai i manaʻo mua ʻia e Verhulst i ka makahiki 1838. Ma kēia ʻano hoʻohālike, ʻaʻole mau ka ulu ʻana, akā pili i ka mokuʻāina o ka heluna kanaka:

Pono e loaʻa i ka pilina ma waena o ka ulu a me Ni ka waiwai penei: inā piʻi ka heluna kanaka, pono e emi ka ulu no ka mea paʻakikī ke komo i ka meaʻai. ʻOiaʻiʻo, nui nā hana me kēia waiwai: ʻo kēia nā hana top-down. Ua hāʻawi ʻo Verhulst i kēia pilina:

kahi a>0 a me K>0 mau e hōʻike ai i nā kumuwaiwai meaʻai a ua kapa ʻia ʻo ka hiki o ke kaiapuni. Pehea ka hoʻololi ʻana o K i ka nui o ka ulu ʻana o ka heluna kanaka? Inā piʻi ka K, emi ka Ni/K. I ka huli ʻana, alakaʻi kēia i ka ulu ʻana o 1-Ni / K, ʻo ia hoʻi ka ulu ʻana. ʻO ia ke ʻano o ka piʻi ʻana o ka ulu ʻana a ke ulu wikiwiki nei ka heluna kanaka. No laila e hoʻololi kākou i ke kumu hoʻohālike mua (1) ma ka manaʻo ʻana ua loli ka ulu ʻana e like me ka hoohalike (3). A laila loaʻa iā mākou ka hoohalike

Hiki ke kakauia keia hoohalike me he hoohalike recursive

kahi xi = Ni / K a me xi + 1 = Ni + 1 / K hōʻike i nā heluna kanaka i hoʻonui ʻia i ka manawa i a me ka manawa i + 1. Ua kapa ʻia ka hoʻohālikelike (5) i ka hoʻohālikelike logistic.

Me he mea lā me kahi hoʻololi liʻiliʻi, ua maʻalahi kā mākou kumu hoʻohālike. E nānā kāua. E no'ono'o i ka hoohalike (5) no ka palena a = 0.5 e hoomaka ana mai ka heluna kanaka mua x0 = 0.45. Hiki ke loaʻa ka helu helu helu kanaka me ka hoʻohana ʻana i ka hoohalike recursive (5):

x₁= koʻi₀(1st₀)

x₂= koʻi₁(1st₁)

x₃= koʻi₂(1st₂)

No ka maʻalahi o ka helu ʻana ma (6), hiki iā mākou ke hoʻohana i ka papahana aʻe (ua kākau ʻia ma Python a hiki ke holo ʻia, ma waena o nā mea ʻē aʻe, ma ka platform Sage. Paipai mākou iā ʻoe e heluhelu i ka puke http://icse.us.edu .pl/e-book . ), e hoʻohālike ana i kā mākou kumu hoʻohālike:

i = 0.5 x = 0.45 no ka i ma ka laulā (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      pai x

Ke helu nei mākou i nā waiwai kūʻē o xi a ʻike mākou i ke ʻano o ka zero. Ma ka hoʻāʻo ʻana me ke code ma luna, he maʻalahi hoʻi ke ʻike he ʻoiaʻiʻo kēia me ka nānā ʻole i ka waiwai mua o x0. ʻO ia hoʻi, e make mau ana ka heluna kanaka.

Ma ka lua o ka hoʻopaʻa ʻana, hoʻonui mākou i ka waiwai o ka parameter a i kekahi waiwai ma ka laulā ae (1,3). ʻIke ʻia a laila hele ke kaʻina xi i kahi nui x * > 0. ʻO ka unuhi ʻana i kēia mai ka manaʻo o ka kaiaola, hiki iā mākou ke ʻōlelo ua paʻa ka nui o ka heluna kanaka ma kekahi pae, ʻaʻole ia e loli i kēlā me kēia kau. . Pono e hoʻomaopopo ʻaʻole pili ka waiwai o x * i ka mokuʻāina mua x0. ʻO kēia ka hopena o ka hoʻoikaika ʻana o ka kaiaola no ka hoʻopaʻa ʻana - hoʻoponopono ka heluna kanaka i kona nui i ka hiki ke hānai iā ia iho. ʻO ka makemakika, ua ʻōlelo ʻia e pili ana ka ʻōnaehana i kahi kiko paʻa paʻa, ʻo ia hoʻi. e hoʻonaʻauao i ka kaulike x = f(x) (ʻo ia hoʻi, i ka manawa aʻe ua like ka mokuʻāina me ka manawa ma mua). Me Sage, hiki iā mākou ke noʻonoʻo i kēia hoʻololi ʻana ma ke kiʻi ʻana i ka heluna kanaka i ka manawa.

Ua manaʻo ʻia e ka poʻe noiʻi ka hopena hoʻokūpaʻa, a ʻaʻole i hoihoi nui ʻia ka hoʻohālikelike logistic (5) inā ʻaʻole ia no ka pīhoihoi. Ua hoʻololi ʻia no kekahi mau waiwai o ka ʻāpana, ke ʻano (5) ke ʻano i kahi ala ʻike ʻole. ʻO ka mea mua, aia nā mokuʻāina periodic a me multiperiodic. ʻO ka lua, me kēlā me kēia manawa, hoʻololi like ʻole ka heluna kanaka, e like me ka neʻe ʻana. ʻO ke kolu, nui ka noʻonoʻo ʻana i nā kūlana mua: ʻelua mau mokuʻāina mua ʻaneʻane hiki ʻole ke alakaʻi i ka ulu ʻana o ka lehulehu. ʻO kēia mau hiʻohiʻona āpau ke ʻano o ka ʻano e like me kahi neʻe holoʻokoʻa a ua kapa ʻia ʻo chaos deterministic.

E ʻimi kākou i kēia waiwai!

ʻO ka mua, e hoʻonoho kāua i ka waiwai o ka parameter a = 3.2 a nānā i ka hoʻololi. He mea kupanaha paha i keia manawa, aole i hiki i ka heluna kanaka ke kumu waiwai hookahi, aka, elua, e puka mau ana i na kau elua. Akā naʻe, ua ʻike ʻia ʻaʻole i pau nā pilikia ma laila. Me ka = 4, ʻaʻole hiki ke wānana hou ka ʻōnaehana. E nānā kākou i ke kiʻi (2) a i ʻole e hoʻopuka mākou i ke kaʻina helu iā mākou iho me ka hoʻohana ʻana i ke kamepiula. ʻIke ʻia nā hualoaʻa he maʻemaʻe a ʻokoʻa loa no nā heluna hoʻomaka ʻokoʻa iki. Eia naʻe, pono e kūʻē ka mea heluhelu. Pehea e hiki ai i kahi ʻōnaehana i wehewehe ʻia e ka haʻihaʻi hoʻoholo 1, ʻoiai he mea maʻalahi loa, e hana me ka manaʻo ʻole? ʻAe, malia paha.

ʻO kahi hiʻohiʻona o kēia ʻōnaehana ʻo kona ʻike kupaianaha i nā kūlana mua. Ua lawa ka hoʻomaka ʻana me ʻelua mau kūlana mua e ʻokoʻa ana i ka hapa miliona, a ma kahi liʻiliʻi wale nō e loaʻa iā mākou nā waiwai heluna kanaka ʻokoʻa loa. E nānā kāua ma ke kamepiula:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] no ka i ma ka laulā (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) pai x, y

Eia kahi hiʻohiʻona maʻalahi o ka hoʻomohala hoʻoholo. Akā, he hoʻopunipuni kēia manaʻo hoʻoholo, he determinism makemakika wale nō. Mai kahi hiʻohiʻona kūpono, hana hewa ʻole ka ʻōnaehana no ka mea ʻaʻole hiki iā mākou ke hoʻonohonoho pono i nā kūlana mua me ka makemakika. ʻO ka ʻoiaʻiʻo, ua hoʻoholo ʻia nā mea āpau me kahi pololei: ʻo kēlā me kēia mea ana i kekahi pololei, a hiki i kēia ke kumu i ka unpredictability pono i nā ʻōnaehana deterministic i loaʻa ka waiwai o ka haunaele. ʻO kahi laʻana he mau hiʻohiʻona wānana i ka wā, e hōʻike mau ana i kahi waiwai o ka haunaele. ʻO ia ke kumu i hewa ʻole ai nā wānana wā lōʻihi.

He paʻakikī loa ka nānā ʻana i nā ʻōnaehana chaotic. Eia naʻe, hiki iā mākou ke hoʻoponopono i nā mea pohihihi o ka haunaele me ke kōkua o nā simulation kamepiula. E kahakiʻi mākou i ka mea i kapa ʻia ʻo bifurcation diagram, kahi a mākou e kau ai i nā waiwai o ka parameter a ma ka axis abscissa, a me nā wahi paʻa paʻa o ka palapala logistic ma ka axis ordinate. Loaʻa iā mākou nā helu paʻa ma ka hoʻohālikelike ʻana i ka nui o nā ʻōnaehana i ka manawa like a me ka hoʻolālā ʻana i nā waiwai ma hope o nā manawa hoʻohālike. E like me kāu e koho ai, pono kēia i nā helu he nui. E ho'āʻo kākou e hana "maʻemaʻe" i kēia mau waiwai:

lawe mai i ka numpy e like me np Nx = 300 ʻO kēlā = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) х = х + e.g. eros ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = e laʻa. Linspace (1,4, Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) no ka i ma ka laulā (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] no a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] kiko (pt, nui = 1, nui figs = (7,5))

Pono mākou e kiʻi i kahi mea e like me ke kiʻi (3). Pehea e wehewehe ai i kēia kaha kiʻi? No ka laʻana, me ka waiwai o ka parameter a = 3.3, loaʻa iā mākou 2 mau wahi paʻa paʻa (ua like ka nui o ka heluna kanaka i kēlā me kēia kau ʻelua). Eia nō naʻe, no ka palena a = 3.5, loaʻa iā mākou 4 mau helu mau (i kēlā me kēia kau ʻehā he helu like ka heluna), a no ka palena a = 3.56 he 8 mau helu mau (i kēlā me kēia kau ʻewalu like ka heluna kanaka). Akā, no ka palena a≈3.57, loaʻa iā mākou nā helu paʻa he nui loa (ʻaʻole e hoʻihoʻi hou ka nui o ka lehulehu a hoʻololi i nā ala hiki ʻole ke ʻike ʻia). Eia nō naʻe, me ka polokalamu kamepiula, hiki iā mākou ke hoʻololi i ke ʻano o ka parameter a e ʻimi i ke ʻano geometric pau ʻole o kēia kiʻi me ko mākou mau lima ponoʻī.

ʻO kēia wale nō ka piko o ka hau hau. Ua kākau ʻia he mau kaukani pepa ʻepekema e pili ana i kēia hoʻohālikelike, akā hūnā naʻe i kāna mau mea huna. Me ke kōkua o ka kamepiula simulation, hiki iā ʻoe, me ka ʻole o ka hoʻohana ʻana i ka makemakika kiʻekiʻe, ke pāʻani i ka paionia o ka honua o nā nonlinear dynamics. Ke kono nei mākou iā ʻoe e heluhelu i ka mana pūnaewele e loaʻa ana nā kikoʻī e pili ana i nā waiwai hoihoi o ka hoʻohālikelike logistic a me nā ala hoihoi e ʻike ai iā lākou.

¹ ʻO ke kānāwai deterministic he kānāwai ia e hoʻoholo kūʻokoʻa ai ka wā e hiki mai ana e ka mokuʻāina mua. ʻO ka ʻokoʻa ke kānāwai probabilistic. ² Ma ka makemakika, "discrete" 'o ia ho'i ka loa'a 'ana o nā waiwai mai kekahi pū'ulu helu helu. ʻO ka ʻaoʻao ʻē aʻe "hoʻomau".